逆变与协变分量

对于一个向量(使用爱因斯坦求和约定）

我们对他进行基变换（把新的基写成原来的线性组合）:

把系数整理成矩阵

$\vec A$ 并没有变，所以可以写成两个基的线性组合：

因为基进行了一个$\mathcal{M}$ 的线性变换，所以系数（即坐标）要进行一个$\mathcal{M^{-1}}$ 的逆变换才能保持$\vec A$ 保持不变。所以$A^i$ 叫做逆变分量. 举个具体例子：

取原基

定义新基为

对应的换基矩阵为

设同一个向量 $\vec A$ 在原基下表示为

在新基下表示为

将新基代入：

与

比较系数，得到

写成矩阵形式：

即

由于

所以

即

所以在这个具体例子中：

现在考虑协向量 $\omega$。协向量是对偶空间 $V^*$ 中的元素，即定义在向量空间 $V$ 上的线性泛函：

它作用在向量空间${V}$的向量 $v$ 上，得到一个标量：

协向量$\omega$可以写成对偶基$e^i$的线性组合：

所以

现在对$\omega$和$v$都进行换基，换基之后由于$\omega$和$v$都没变，所以得到的结果也不变，就是说：

由于 变换后的新基可以写成原来基的线性组合，比如按照LADR书上的$v_k$=$A_{i,k} w_i$ (依旧爱因斯坦求和约定)，变换后的第$k$个分量写成矩阵第$k$列的每行的线性组合。之前逆变分量$v$我们知道变换后的分量和变换之前的分量差了个逆矩阵：

第一个数字$i$还是代表矩阵的行，只不过写成了上标的形式。可以用具体例子方便理解

这样刚才的逆变换就很直观了。然后线性泛函协向量$\omega$为了直接和列向量$v$作用得到一个标量，我们把协向量$\omega$写成行向量的形式：

还是用具体例子方便理解：

于是：

先把普通的数重新排列一下：

中间这一坨

其实就是矩阵乘法 $MM^{-1}$ 的第 $jk$ 个元素。

而

所以

所以

于是

所以一个逆变搭配一个协变可以形成一个不变量，所以$v$=$v^i e_i$=$v_je^j$写成一上一下，一个协变一个逆变的形式就是为了保持向量$v$的不变性。

张量指标的缩并

前面已经知道，协向量 $\omega\in V^*$ 可以作用在向量 $v\in V$ 上：

其本质来源于对偶空间 $V^*$ 与向量空间 $V$ 之间的自然配对：

对于基 $\{e_i\}$ 和对偶基 $\{e^i\}$，有

其中 $\delta^i_j$ 为克罗内克符号：

因此，一个来自 $V^*$ 的下指标和一个来自 $V$ 的上指标可以进行自然配对。 在张量的指标记号中，这种配对就表现为缩并（contraction）。

缩并的完整过程

例如考虑一个具有两个上指标和一个下指标的张量：

这里：

只是张量的分量，而完整的张量还包括基：

现在将第一个上指标 $i$ 和下指标 $k$ 对应的位置进行缩并。

由于 $e^k\in V^*$ 是线性泛函，可以作用在 $e_i\in V$ 上，所以

因此缩并后的张量为

这里实际上已经产生了一个标量：

这个标量会乘在剩下的张量因子 $e_j$ 上。

但是根据克罗内克符号的性质，

所以它会把所有 $k\neq i$ 的项全部消掉，只留下 $k=i$ 的项：

因此

如果只写缩并后张量的分量，就写成

为什么缩并时看不到产生的标量

如果把爱因斯坦求和约定完全展开，缩并前为

缩并 $i$ 和 $k$ 后：

因为

所以

由于 $\delta^k_i$ 只有在 $k=i$ 时才等于 $1$，因此三重求和变成

所以在通常的指标记号中，我们直接写成

并不是缩并过程中没有产生标量。

实际上完整过程是

产生了克罗内克符号这个标量。

只不过 $\delta^k_i$ 在求和过程中起到了“筛选指标”的作用：

所以最后通常不再把 $\delta^k_i$ 单独写出来，而是直接把它吸收到新的张量分量中。

因此可以把一次缩并理解为：

缩并后不一定得到标量

需要注意的是：

进行一次缩并，会产生一个标量配对，但整个张量不一定变成标量。

例如

缩并 $i$ 和 $k$ 后得到

其中 $i$ 已经被求和消去，但是还剩下自由指标 $j$。

所以完整结果为

它仍然是一个向量。

只有当缩并之后一个自由指标都不剩时，最终结果才是标量。

例如对于

进行缩并：

此时所有指标都被消去，所以

是一个标量。

如果把 $T^i{}_j$ 看成矩阵，那么

所以矩阵的迹其实就是一种典型的张量缩并。 具体例子： （大学生理工专题导读 矢量与张量分析p133)

升降指标与音乐同构

给定一个向量$v \in V$ ,定义$v^\flat :=g(v,\cdot)$ ,因为度规$g$是双线性泛函，固定一个输入$v$之后就变成单线性泛函了，"$\cdot$"表示占位，可变的（LADR里面矩阵那一节也用的这个）。所以

所以音乐同构把$v \in V$ 变成了$v^\flat \in V^*$ ,$v^\flat$变成了对偶空间的协向量，所以降指标了，设$v=v^j e_j$ ,我们想变成协向量的形式$v^\flat=v_ie^i$ .根据定义：

另一方面因为$v^\flat$是协变基，$v^\flat=v_ie^i$. 所以：

所以很显然$g_{ij} v^j w^i =v_iw^i$,所以:

如果$g_{ij}$是非退化的。所谓非退化（non-degenerate），意思是

类似于线代中的单射：当且仅当$\operatorname{null}T=\{0\}$ ,然后根据结论

所以$g_{ij}$是非退化的就是可逆的. 现在我们定义另一个音乐同构：$\sharp$ 。作用和上面的$\flat$相反。$\forall w \in V^*$ ,$w^\sharp \in V$ .也就是说

假设$w=w_ie^i$ ,通过$\sharp$,$w^\sharp=w^je_j$.类似之前降指标的推导。